分離態射

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2个分类: 代数几何 | 来自中文维基百科

在數學中，分離態射是概形間一類具良好幾何性質的態射，由此可定義分離概形。在亞歷山大·格羅滕迪克的著作中，原將一般的概形稱作預概形（préschéma），而將分離概形稱作概形；1967年左右改稱現名。

[编辑] 定義

設 $X, S$ 為概形。一個態射 $f: X \rightarrow S$ 被稱作分離態射，若且唯若它所給出的對角映射 $\Delta: X \rightarrow X \times_S X$ 是閉浸入。

由此可定義 $S$ 上的分離概形。若取 $S$ 為終對象 $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ ，可定義絕對的分離概形。

[编辑] 性質探討

從分離性可推出：設 $X \rightarrow S$ 分離，對任何 $\mathbf{Sch}_{/S}$ 裡的態射 $f,g: Y \rightarrow X$ ，若 $f$ 與 $g$ 在一個稠密開集上相等，則 $f = g$ 。準此，可視分離概形為豪斯多夫空間在概形論裡的推廣。

根據定義，分離性僅與拓撲有關： $f: X \rightarrow S$ 分離若且唯若 $f_\mathrm{red}: X_\mathrm{red} \rightarrow Y_\mathrm{red}$ 分離。群概形都是分離的（考慮映射 $(x,y) \mapsto x^{-1}y$ ）。此外；仿射概形皆屬分離概形。

另一個有用的性質是：若 $S$ 是仿射概形， $X$ 是 $S$ 上的分離概形，且 $U, V \subset X$ 是仿射開集，則 $U \cap V$ 亦是仿射開集。

下述常見態射都是分離的：

概形間的單射（包括開浸入與閉浸入）都是分離態射
分離態射的合成仍是分離態射
分離態射換底後仍是分離態射
若 $f: X \rightarrow Y, g: X' \rightarrow Y'$ 是分離態射，其積 $f \times_S g: X \times_S X' \rightarrow Y \times_S Y'$ 亦然。
若 $g \circ f$ 是分離態射，則 $f$ 是分離態射。
射影態射是分離態射