加法範疇

在範疇論中，一個加法範疇是一個存在有限雙積的預加法範疇。舊文獻所謂的「加法範疇」有時指預加法範疇，在當代理論中則傾向於區別兩者。

一如預加法範疇，對一交換環 k 也能定義 k-加法範疇，加法範疇是 的情形。

[编辑] 例子

最直接的例子是交換群範疇 Ab，此時的有限雙積即群的有限直積。其它常見例子包括：

• 一個環上的左模範疇，包括域或除環上的向量空間範疇。
• 環上的矩陣代數。

[编辑] 基本性質

加法範疇是預加法範疇的特例，因此具有預加法範疇的性質，在此僅考慮加法範疇對雙積的特性：

首先注意到空雙積存在，稱為零對象，記作 0；它同時是範疇中的始對象與終對象。

給定加法範疇中的對象 A,B，考慮與自身的雙積 Aⁿ 與 B^m；透過雙積的射影與內射態射，能夠以矩陣表示從 Aⁿ 至 B^m 的態射；若取 A = B、n = m，則態射的合成對應於方陣乘法。

[编辑] 加法函子

一個預加法範疇間的函子 若在同態集上給出群同態，則稱作加法函子。如果 還是加法範疇，而且 F 保存雙積的交換圖，則稱之為（加法範疇間的）加法函子。換言之：

若 B 是 在 中的雙積，設 p_j 為相應的投影而 i_j 為相應的內射，則 F(B) 是 的雙積，使得 F(p_j) 為相應的投影而 F(i_j) 為相應的內射。

加法範疇間常見的函子都是加法函子。事實上，可以證明加法範疇間的伴隨函子都是加法函子，而範疇論中的重要函子多以伴隨函子的面貌出現。

[编辑] 特殊例子

• 一個預阿貝爾範疇是使每個態射都有核與上核的加法範疇。
• 一個阿貝爾範疇是一個使態射均為嚴格態射的預阿貝爾範疇。

應用最廣的加法範疇通常都是阿貝爾範疇。

[编辑] 文獻

• Nicolae Popescu, 1973, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, Inc. （已絕版） 該書對此主題有仔細介紹