基数
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Aleph-0, 最小的無限基數
在語言學中，基數是對應量詞的「數」，例如在以下句子中的「一」及「四」：
在某些語言如英語，基數one,two,three和序數first,second,third是不同的。 在數學上，基數(cardinal number)也叫势(cardinality)，即集合中包含的元素的「个数」。有限集合的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同（見上段），例如 {a, b, c} 的基數是 3。無限集合的基數，其意義在於比較兩個集的大小，例如整數集和分數集的基數相同，是以它們是一樣大；整數集的基數比實數集的小；是以後者是比較大的集合。
[编辑] 歷史康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合論（現稱樸素集合論）時, 首次引入基數概念。 他最先考慮的是集合 {1,2,3} 和 {2,3,4}，它們並非相同，但有相同的基數。驟眼看來，這是顯而易見，但究竟可謂兩個集合有相同數目的元素？ 康托爾的答案，是所謂一一對應，即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到，兩個集合的基數自然相同。這答案，容易理解但卻是革命性的，因為用相同的方法即可比較任意集合，包括無窮集合的大小! 最先被考慮的無窮集合是自然數集 N = {1, 2, 3, ...} 及其無限子集。他把所有與 N 能一一對應的集為可數集。大出康托爾意外，原來 N 的所有無限子集都能與 N一一對應！他把的基數稱為 康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的！於是乎在1874年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，稍後他得出著名的对角论证法，實數集是不可數的！實數集的基數，記作c，代表連續統。 接着康托爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康托爾發明集合論的主因。 康托爾隨後提出連續統假設： c 就是第二個超窮數 [编辑] 动机在非形式使用中，基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于 0 的自然数(就是 0, 1, 2, ...)。计数严格的是可形式定义为有限基数的东西。无限基数只出现在高级数学和逻辑中。 更加形式的说，非零数可以用于两个目的: 描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有精确的正好大小的集合，比如 3 描述 'c' 在序列 <'a','b','c','d',...> 中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合 {a,b,c}。但是在处理无限集合的时候，在这两个概念之间的区别是本质的 — 这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置示象(aspect)导致序数，而大小示象被这里描述的基数所普遍化。 在基数形式定义背后的直觉是构造一个集合的相对大小的概念而不提及它有那些成员。对于有限集合这是容易的；你可以简单的计数一个集合的成员的数目。为了比较更大集合的大小，必须借助更加微妙的概念。 一个集合 Y 是至少等大小于或大于等于一个集合 X，如果有从 X 的元素到 Y 的元素的一个单射(一一映射)。一一映射对集合 X 的每个元素确定了一个唯一的集合 Y 的元素。这通过例子是最容易理解的；假设我们有集合 X = {1,2,3} 和 Y = {a,b,c,d}，则使用这个大小概念我们可以观察到有一个映射:
这是一对一的，因此结论出 Y 有大于等于 X 的势。注意元素 d 没有元素映射到它，但这是允许的，因为我们只要求一一映射，而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。 我们可以扩展这个概念到一个等式风格的关系。两个集合 X 和 Y 被称为有相同的势，如果存在 X 和 Y 之间的双射。通过 Schroeder-Bernstein定理，这等价于有从 X 到 Y 和从 Y 到 X 的两个一一映射。我们接着写为 | X | = | Y |。X 的基数自身经常被定义为有着 | a | = | X | 的最小序数 a。这叫做冯·诺伊曼基数指派；为使这个定义有意义，必须证明所有集合都有同某个序数一样的势；这个陈述就是良序原理。然而有可能讨论集合的相对的势而不用明确的指派名字给对象。 在无限旅馆悖论也叫做希尔伯特大旅馆悖论中使用的经典例子。假设你是有无限个房间的旅馆的主人。旅馆客满，而又来了一个新客人。有可能通过让在房间 1 的客人转移到房间 2，房间 2 的客人转移到房间 3 以此类推，腾空房间 1 的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段:
在这种方式下我们可以看出集合 {1,2,3,...} 和集合 {2,3,4,...} 有相同的势，因为已经展示了这两个集合之间的双射。这激发了定义无限集合是有着相同的势的真子集的任何集合；在这个情况下 {2,3,4,...} 是 {1,2,3,...} 的真子集。 当我们考虑这些大对象的时候，我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。碰巧不符合；通过考虑上面的例子，我们可以看到“比无限大一”某个对象存在，它必须有同我们起初的无限集合有一样的势。有可能使用基于计数并依次考虑每个数的想法的叫做序数的不同的数的形式概念，而我们发现势和序(ordinality)的概念对于无限数是有分歧的。 可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。这可以使用对角论证法来可视化；势的经典问题(比如连续统假设)关心发现在某一对无限基数之间是否有某个基数。最近数学家已经描述了更大更大基数的性质。 因为基数是数学中如此常用的概念，使用了各种各样的名字。势相同有时叫做等势、均势或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。 [编辑] 定義首先，給出集合 X 和 Y，我們稱 X 的勢比 Y 小，記作 | X | ≤ | Y |， 當且僅當存在由 X 到 Y 的單射。我們稱 X 的勢與 Y 相等，記作 | X | = | Y |， 當且僅當存在由 X 到 Y 的雙射（即一一對應）。 Cantor-Bernstein-Schroeder 定理指出如果 | X | ≤ | Y | 及 | Y | ≤ | X | 則 | X | = | Y |。 假設選擇公理，所有集合都可良序，且對於所有集合 X 與 Y, 有 | X | ≤ | Y | 或 | Y | ≤ | X |。因此，我們可以定義序數，而 集合 X 的基數則是與 X 等勢的最小序數 α。 （若不接受選擇公理，我們也可對非良序集 X 定義基數，就是所有與 X 等勢的集的階中最小者。） [编辑] 有限集的基数自然數的一種定義是 0={ },1={0},2={0,1},3={0,1,2},……,N={0,1,...,N-1}。可以見到，與數 N 等勢的集必有 N 個元素。如集合{2，3，5}的基数为3。 以下是有限集的三個等價定義：它與某自然數等勢；它只有一個等勢的序數，就是它的基數；它沒有等勢的真子集。 [编辑] 无限集的基数最小的無限集合是自然數集。{1，2，3，4，…，n，…}与{2，4，6，8，…，2n，…}基数相同，因为可以让前一集合的 n 与后一集合的 2n 一一对应。从这个例子可以看出，对于一个无穷集合来说，它可以和它的一个真子集有相同的基数。 以下是无限集的四個等價定義：它不與任何自然數等勢；它有超過一個等勢的序數；它有至少一个真子集和它等勢；存在由自然數集到它的單射。 [编辑] 基數算術我們可在基數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。 給出集合 X 與 Y，定義 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y}，則基數和是
若 X 與 Y 不相交，則 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。 基數積是
其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡儿积。 基數指數是
其中 XY 是所有由 Y 到 X 的函數的集合。 在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的等質：
無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若 X 與 Y 皆非空而其中之一為無限集，則
注意 2| X | 是 X 的幂集之基數。由对角论证法可知 2| X | > | X |，是以並不存在最大的基數。事实上，基数的类是真类。 還有些關於指數的有趣性質：
[编辑] 基數序列及連續統假設對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是 注意 連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel 公理系統加上選擇公理）是獨立的。 更一般的假設，即 廣義連續統假設，就是對所有無窮基數 [编辑] 參考文獻
[编辑] 對外連結 |
，是最少的超窮基數（transfinite cardinal numbers）。
, 即継
…。
。
。
。
，都不存在界乎 
之間的基數。
