勾股数

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1个分类: 数论

勾股数，又名毕氏三元数，是由三个正整数组成的数组，能符合勾股定理（毕式定理）之中， a² + b² = c² ， a, b, c 的整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。

勾股数举例：

(3,4,5)

(5,12,13)

(6,8,10)

(8,15,17)

(20,21,29)

如果 (a, b, c) 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即 (na, nb, nc) 也是勾股数。若果 a, b, c 三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数。

以下的方法可用来找出勾股数。设 m > n 、 m 和 n 均是正整数，

a = m² − n²,

b = 2mn,

c = m² + n²

若 m 和 n 是互质，而且 m 和 n 至少有一个是偶数，计算出来的 a, b, c 就是素勾股数。（若 m 和 n 都是奇数， a, b, c 就会全是偶数，不符合互质。）

所有素勾股数（不是所有勾股数）都可用上述列式当中找出，这亦可推论到，数学上存在无穷多的素勾股数。

小于100的素勾股数列表：

a	b	c
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97

让我们把上述列式重组至以下列式：

a² = (c − b)(c + b)

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现： 20 21 29 与 20 99 101.

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

1229779565176982820
1230126649417435981
1739416382736996181

与

1229779565176982820
378089444731722233953867379643788099
378089444731722233953867379643788101.

试考虑它的质因数分解

1229779565176982820 = 2² × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47.

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。

费马最后定理指出，若 aⁿ + bⁿ = cⁿ ，而 n 是大于 2 的整数， a, b, c 即没有整数解。

[编辑] 找尋勾股數的小技巧

若需要一組最小數為奇數的勾股數，可「任意選取」一個大於1的奇數，也就是3以上的奇數，將該數自乘為平方數，除以2，答案加減0.5可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的奇數，三者必定形成一組勾股數。卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的唯一可能，例如（39,760,761）並非是以39為起首的唯一勾股數，因為存在另一個勾股數是（39,80,89），同樣也以39為首。