同倫

在數學中，同倫的概念在拓撲上描述了兩個對象間的「連續變化」。

[编辑] 函數的同倫

兩條路徑的同倫

給定兩個拓撲空間 et 。考慮兩個連續函數 ，若存在一個連續映射 使得

則稱（在Y裡）同倫。

換言之：每個參數t對應到一個函數 ；隨著參數值從 0 到 1 變化， 連續地從 變化到

另一種觀點是：對每個，函數 定義一條連接 與 的路徑：

例一：取 , , 及 。則 與 透過下述函數在 中同倫。

（注意到此例子不依賴於變數 x，通常並非如此。）

註：「在Y中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將代為子空間，則雖然 與 仍取值在，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二：取、、 及 . 描繪一個以原點為圓心之單位圓； 停在原點。 與 透過下述連續函數同倫：

幾何上來看，對每個值，函數描繪一個以原點為圓心，半徑 1 − t 的圓。

函數間的同倫是（即從 X 到 Y 全體連續函數的集合）上的等價關係。同倫的初步應用之一，是藉由環路的同倫定義何謂單連通。

[编辑] 相對同倫

為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設是連續函數，固定子空間 ；若存在前述同倫映射 ，滿足：

• H(x,0) = f(x),H(x,1) = g(x)
• 

則稱 f,g 相對於 K 同倫。若取 ，則回到原先的同倫定義。

[编辑] 空間的同倫等價

空間的連續變化：咖啡杯與甜甜圈

給定兩個拓撲空間 與 ，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），若且唯若存在兩個連續映射與，使得：

• 同倫到 的恆等映射 id_E。
• 同倫到 的恆等映射 id_F。

同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：

例三：

• 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到，即去掉一點的平面。
• 線段、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。

[编辑] 同痕

同痕是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數 和 是同胚，並要求兩者間可用一族同胚映射相連。

定義如次： 與 被稱為同痕的，若且唯若存在連續映射使之滿足：

• 
• 
• 對所有，映射是個同胚映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

[编辑] 參見

• 同倫範疇
• 同倫擴展性質
• 同倫提升性質