哈沙德數

哈沙德數（Harshad number）是可以在某個固定的進位制中，被其數位的數字之和整除的整數。

哈沙德數又稱尼雲數，是因為伊萬·尼雲在1997年一個有關數論的會議發表的論文。

若一個數無論在任何進位制中都是哈沙德數，稱為全哈沙德數（全尼雲數）。只有四個全哈沙德數：1, 2, 4, 6。

所有在零和進位制的底數之間的數都是哈沙德數。

除非是個位數，否則素數不是哈沙德數。

在十進制中，100以內的哈沙德數(OEIS:A005349)： 10, 12, 18, 20, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100 ...

[编辑] 連續數個整數均為哈沙德數

1994年，H.G. Grundman 證明在十進制並無21個連續整數均是哈沙德數，他亦找到了最小20個連續整數都是哈沙德數的數列，它們大於10^44363342786。

1996年T. Cai 證明了以下的事實：在二進制存在無限多組連續四個整數為哈沙德數；在三進制存在無限多組六個整數為哈沙德數。

設N(x)為小於或等於x哈沙德數的數目，對於任何給定的 ε > 0 ，Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon發現：

$x^{1-\varepsilon} << N(x) << \frac{x\log\log x}{\log x}$

De Koninck、Doyon和Katai證明：

$N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}$

當 c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275

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