唯一分解域

在數學中，唯一分解域是使得每個其中元素都能唯一表成素元之積的整環，也就是滿足算術基本定理的整環。唯一分解域通常以英文縮寫 UFD 表示

[编辑] 定義

一個唯一分解域乃是一整環 $R$ ，使得其中每個非零不可逆元 $x$ 皆可表為不約元（或稱既約元）的積：

$x = p_1 \cdots p_n$

此表法在至多差一個可逆元的意義下唯一：若 $x = p_1 \cdots p_n = q_1 \cdots q_m$ ，其中 $p i, q j$ 皆為不可約元，則 $m = n$ ，而且在重排足標後存在可逆元 $u_i \in R^\times$ 使得 $p i = u i q i$ 。

另一個方便的等價定義如下：一個唯一分解域乃是一整環 $R$ ，使得其中每個非零不可逆元皆可表成素元的積。

主理想域，特別是歐幾里德域。由此可知整數、高斯整數與艾森斯坦整數環都是唯一分解域。
域也是唯一分解域。
若 $R$ 為唯一分解域，則多項式環 $R [X]$ 亦然。由此可知任意有限個變元的多項式環 $R[X_1, \ldots, X_n]$ 也是唯一分解域，但是它們一般來說並非主理想域。
複流形（例如 $\mathbb{C}$ ）上一點的局部環是唯一分解域。
正則局部環皆為唯一分解域。

以下給出幾個反例：

$(6)=(2)(3)=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$

整數的一些概念可以推廣至唯一分解域：

I. N. Herstein, Topics in Algebra (1975), Wiley. ISBN 0471010901
H. Matsumura, Commutative algebra (1980), Benjamin-Cummings Pub Co. ISBN 0-8053-7026-9