商环

在環論中，商環（或稱剩餘環）是環對一個理想的商結構。

[编辑] 定義

設 R 為一環， 為一雙邊理想。定義下述等價關係

令 R / I 為其等價類，其中的元素記作 a + I，其中 a 是該元素在 R 上任一代表元。我們可以在 R / I 上定義環結構：

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I

以上運算是明確定義的（在第二式中須用到 I 是雙邊理想）。集合 R / I 配合上述運算稱作 R 對 I 的商環。根據定義，商映射 是滿的環同態，I 為此同態的核。

如果 R 含單位元 1，則 1 + I 是 R / I 的單位元。

註：若條件弱化為 I 是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合 R / I 左（或右） R-模結構。

[编辑] 例子

• 最平凡的例子是 I = (0),I = R，此時分別得到 R / I = R,R / I = (0)。
• 取 ，商環 可視為模運算的代數框架，其中的元素即模 n 的剩餘類。
• 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環 ，，則商環 與複數域 同構（考慮映射 ）。一般而言，設 F 為一個域， 為 F 上的不可約多項式，則商環 F[X] / p(X) 的意義在於抽象地在 F 上加進 p(X) 的一個根。

[编辑] 性質

商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：

設 為商同態；對任何環同態 ，若 ，則存在唯一的同態 ，使得 。

事實上，若更設 Ker(φ) = (0)，則 是單射。準此，R 的同態像無非是 R 的商環。

理想的性質常與其商環相關，例如當 R 是交換含么環時，I 是素理想（或極大理想）若且唯若 R / I 是整環（或域）；R 中包含 I 的理想一一對應於 R / I 中的所有理想，此對應由商映射的逆像給出。

[编辑] 文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X