商环

在環論中，商環（或稱剩餘環）是環對一個理想的商結構。

[编辑] 定義

設 $R$ 為一環， $I \subset R$ 為一雙邊理想。定義下述等價關係

$x \sim y \iff x-y \in I$

令 $R / I$ 為其等價類，其中的元素記作 $a + I$ ，其中 $a$ 是該元素在 $R$ 上任一代表元。我們可以在 $R / I$ 上定義環結構：

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I

$(a+I) \cdot (b+I) = ab + I$

以上運算是明確定義的（在第二式中須用到 $I$ 是雙邊理想）。集合 $R / I$ 配合上述運算稱作 $R$ 對 $I$ 的商環。根據定義，商映射 $R \rightarrow R/I, a \mapsto a+I$ 是滿的環同態， $I$ 為此同態的核。

如果 $R$ 含單位元 $1$ ，則 $1 + I$ 是 $R / I$ 的單位元。

註：若條件弱化為 $I$ 是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合 $R / I$ 左（或右） $R$ -模結構。

[编辑] 例子

最平凡的例子是 $I = (0), I = R$ ，此時分別得到 $R / I = R, R / I = (0)$ 。
取 $R = \mathbb{Z}, I = n\mathbb{Z}$ ，商環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 可視為模運算的代數框架，其中的元素即模 $n$ 的剩餘類。
商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環 $R = \mathbb{R}[X]$ ， $I = (X^2+1)\mathbb{R}[X]$ ，則商環 $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$ 與複數域 $\mathbb{C}$ 同構（考慮映射 $f(X) + (X^2+1) \mapsto f(i)$ ）。一般而言，設 $F$ 為一個域， $p(X) \in F[X]$ 為 $F$ 上的不可約多項式，則商環 $F [X] / p (X)$ 的意義在於抽象地在 $F$ 上加進 $p (X)$ 的一個根。

[编辑] 性質

商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：

設 $\pi: R \rightarrow R/I$ 為商同態；對任何環同態 $\phi: R \rightarrow S$ ，若 $\mathrm{Ker}(\phi) \supset I$ ，則存在唯一的同態 $\psi: R/I \rightarrow S$ ，使得 $\psi \circ \pi = \phi$ 。