四平方和定理

四平方和定理說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。

注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。

[编辑] 历史

• 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式：

(a² + b² + c² + d²)(x² + y² + z² + w²) = (ax + by + cz + dw)² + (ay − bx + cw − dz)² + (az − bw − cx + dy)² + (aw + bz − cy − dx)²

根据上述欧拉恒等式可知如果正整数m和n能表示为4个整数的平方和，则其乘积mn也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

• 1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 p，同余方程

必有一组整数解x，y满足，（引理一）

至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

[编辑] 證明

根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理，可知只需證明質數可以表示成四个整数的平方和即可。

2 = 1² + 1²，因此只需證明奇質數可以表示成四个整数的平方和。

根據引理一，奇質數p必有正倍數可以表示成四个整数的平方和。在這些倍數中，必存在一個最小的。設該數為m₀p。又從引理一可知m₀ < p。

[编辑] 證明m₀不會是偶數

設m₀是偶數，且。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設x₁,x₂的奇偶性相同，x₃,x₄的奇偶性相同，x₁ + x₂,x₁ − x₂,x₃ + x₄,x₃ − x₄均為偶數，可得出公式：

，與m₀是最小的正整數使得的假設m₀p可以表示成四个整数的平方和不符。

[编辑] 證明 m₀ = 1

現在用反證法證明m₀ = 1。設m₀ > 1。

• m₀不可整除x_i的最大公因數，否則可整除m₀p，則得m₀是p的因數，但1 < m₀ < p，矛盾。

故存在不全為零、絕對值小於（注意m₀是奇數在此的重要性）整數的y₁,y₂,y₃,y₄使得 y_i = x_i(mod m₀)。

可得 ，其中m₁是正整數且小於m₀。

• 下面證明m₁p可以表示成四个整数的平方和，從而推翻假設。

用四平方和恆等式令，可知z_i是m₀的倍數，令z_i = m₀t_i，

矛盾。

[编辑] 引理一的證明

將和為p − 1的剩餘兩個一組的分開，可得出組，分別為。 將模p的二次剩餘有個，分別為。

若是模p的二次剩餘，選取使得，則，定理得證。

若不屬於模p的二次剩餘，則剩下組，分別為，而模p的二次剩餘仍有個，由於 ，根據抽屜原理，存在。