多項式

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在數學（Mathematics）領域裡， 多項式是由變數以及標量（一般是實數或複數）經乘法及加法構法而成，屬於整式的代數式。

例如： $\ x-10$ 、 $\ y^2+2y-5$ 、 $\ x^2+y+5$ 、 $\frac{2}{3}+ \frac{c}{12}$ 等都是多項式。

非多項式例子： $\frac{12}{z}$ 、 $\frac{2}{x}+ \frac{y}{30}$ 由於都是分式,是以非多項式。

$\ 2xy-yx+5$ 及 $\ xy+5$ 也是多項式，但若然 $\ x$ 及 $\ y$ 是可置換的變數，即 $\ xy=yx$ ，則這两個多項式是相同的。

單項式是指可以純粹由乘法構法的多項式，如: $\ 10$ 、 $\ x$ 及 $\ 10x^2y^2z^3$ 。單項式其實是不含加法或減法運算的整式.

（註：有說單項式不是多項式，而多項式是由起碼两個或以上的單項式相加起來而成。這是最常見單項式及多項式的定義。但多項式相加也可以是單項式，如 $\ (3x+4)+(-2x-4)=x$ ，這個區分令理論研究變得複雜。若然把單項式也歸納為多項式，則多項式相加的和也是多項式，情况比較簡單。）

幾何學中，多項式是最簡單的平滑曲線。簡單是指它僅由乘法及加法構法；平滑皆因它類同口語中的平滑——以數學述語來說，它是無限可微，即可以對它的所有高次微分都存在。事實上，多項式的微分也是多項式。

簡單及平滑的特點，使它在數值分析，圖論，以及電腦繪圖等，都發揮極大的作用。

[编辑] 歷史

多項式的研究，源於“代數方程求解”，是最古老數學問題之一。有些代數方程，如f(x)=x+1，在負數被接受前，被認為是無解的。另一些多項式，如f(x)=x² + 1，是沒有任何根的——嚴格來說，是沒有任何實數根。若我們容許複數，則實數多項式或複數多項式都是有根的，這就是代數基本定理。

能否用根式求解的方法，表達出多項式的根，曾經是文藝復興後歐洲數學主要課題。一元二次多項式的根相對容易。三次多項式的根需要引入複數來表示，即使是實數多項式的實數根。四次多項式的情況也是如此。經過多年，數學家仍找不到用根式求解五次多項式的一般方法，終於在1824年阿貝爾证明了这种一般的解法不存在，震掝數壇。數年後，伽羅華引入了群的概念，證明不存在用根式求解五次或以上的多項式的一般方法，其理論被引申為伽羅瓦理論。伽羅瓦理論也證明了古希臘難題三等分角不可能。另一個難題化圓為方的不可能證明，亦與多項式有關，證明的中心是圓周率乃一個超越數，即它不是有理數多項式的根。

[编辑] 正式定義

給一個環 R （可以是實數環，複數環或其他）及一個變數 x，則多項式是以下代數式：

$\ f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n$ ，

當中 a₀, …, a_n 是 R的元素。用Σ 表達法，有

$\ f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

容易證明，多項式的和或積都是多項式，即多項式組成一個環 R[x]。（註：在最一般的定義，a²x、xa² 及 axa 可以當作是不同的多項式，是不可置換環的例子。）

對於多變數多項式，我們可以類似方式定義。一個有 n 個變數的多項式，稱為 n元多項式。通常以 R[x,y,z] 表示 R 為系數環，x，y 及 z 為變數的多項式環。

在 $R[x_1,\ldots,x_n]$ 中， $ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ 稱為單項式，其中 a∈ R是系數而 $k_1,\ldots,k_n$ 為非負整數，是 $x_1,\ldots,x_n$ 的次數。 $k_1+\cdots+k_n$ 是這個單項式的次數。

[编辑] 多項式的項數

若多項式以最少的單項式之和呈現，則每一個單項式都被稱為此多項式的項，而項的數目稱為項數。

例如多項式 $\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 的項數是四，故稱為四項式。當中的 $\ y^3$ 、 $\ 2x$ 、 $\ 5$ 、 $-\frac{c}{12}$ 、都是此多項式的項。

以上例子中的多項式可以寫成四個以上單項式的和，如 $\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}=y^3+3x-x+5-\frac{c}{12}$ 是五個單項式的和。是以必須強調最少的單項式之和 。

另外的例子是 $\ x-10$ 共有二項，此多項式稱二項式。

（註：若把 $\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則它只是三項式，分別是 $y 3$ 、 $2 x$ 、及 $5-\frac{c}{12}$ 。）

[编辑] 變項與常數項

多項式中含有變數的項稱為變項，祇有數字的項稱為常數項。例如多項式: $\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 中的 $\ y^3$ 、 $\ 2x$ 、 $-\frac{c}{12}$ 、都是此多項式的變項。而 $\ 5$ 是常數項。

（註：若把 $y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則 $5-\frac{c}{12}$ 才是常數項。）

[编辑] 多項式的“元”

多項式中的變數種類稱為元，各種變數以各字母表達(注:通常是x、y、z)，一個多項式有n種變數就稱為n元多項式。

例如： $\ y^9+5x^7-\frac{y^6}{12}+2x$ 中有 $\ x$ 、 $\ y$ 二元，是二元多項式。因有四項，可稱二元四項式。

[编辑] 多項式的次數

多項式中次數最高的項的次數,即此多項式的次數。

例如多項式： $\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 中 $\ y^3$ 的次數最高，有三次方，故此多項式的次數為三。因而此多項式可稱為三元三次四項式。 $\ y^3$ 稱為三次項， $\ 2x$ 及 $\ \frac{c}{12}$ 稱為一次項或線性項，而 5 是 0 次項或常數項。

又例如多項式 $\ x+y+3$ ， $\ y$ 與 $\ x$ 二項都是一次方，而常數項 $\ 3$ 是零次方。故此多項式的次數為一。而此多項式項數為三，可稱為一次三項式。

常數項 $\ 3$ 是零次方因為可被視為是 $3\times x^0$ 。而任何數字零次方都是1，故 $3\times x^0;=3\times 1=3$ ，常數項的次數都為0。

又例如 $\ c^2x^3+3y^4$ 的首項是五次，次項是四次，所以是個三元五次多項式。（註：若把 $\ c^2x^3+3y^4$ 看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則第一項是三次而系數為 c² ，第二項是四次，是個二元四次多項式。）

多項式 p 的次數，記作 deg(p)，由英語 degree 而來。0 次多項式又稱 常數多項式。1 次多項式又稱為 線性多項式。多項式中的一次項又稱為線性項。

[编辑] 多项式的升幂及降幂排列

多项式可依各单项式元的次数排列。

次数从低到高是升幂排列。例如：以下多项式，从 $\ a_0 x^0$ 排到 $\ a_n x^n$

$\ f(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n.$

次数从高到是低降幂排列。例如：以下多项式，从 $\ a_nx^n$ 排到 $\ a_0 x^0$

$\ f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 x^0.$

若一多项式为多元多项式，可依照其中一元排列。

例如: $\ 2x^5 y^2 + 7x^3 y^4 + 8x^1 y^6$ 是依X的次数排列。

亦可以y的次数排列。

例如: $\ 8y^6 x^1 + 7y^4 x^3 + 2y^2 x^5$

[编辑] 一元多項式

一元多項式中次數最高的項，稱為首項，其系數稱為該多項式的首項系數。如 $\ 3x^4-2x^2+x$ 的首項系數為 3。首項系數為 1 的多項式稱為首一多項式，如 $\ x^4-2x$ 。

[编辑] 因式分解

把一多项式分成几个整式的积，称为因式分解。这些整式可称因式。

以下是常用的因式分解公式

$\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$\ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
$\ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
$\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

[编辑] 多项式座标图例子

一些低次数的多项式座标图：

2次多项式: f(x) = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)	3次多项式: f(x) = x³/5 + 4x²/5 - 7x/5 - 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
4次多项式: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5	5次多项式: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2