支撑集

在数学中，一个定义在集合X上的实值函数f的支撑集，或简称支集，是指X的一个子集，满足f恰好在这个子集上非0。最常见的情形是，X是一个拓扑空间(topological space)，比如实数轴等等，而函数f在此拓扑下连续。此时，f的支撑集被定义为这样一个闭集C：f在中为0，且不存在C德真闭子集也满足这个条件，即，C是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包(closure)。

特别地，在概率论(probability theory)中，一个概率分布(probability distribution)是随机变量](randomvariable)的所有可能值组成的集合的闭包。

[编辑] 紧支撑

一个函数被称为是紧支撑于空间X的，如果这个函数的支撑集是X中的一个紧集([[en:compact space|compact)。例如，若X是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数（vanish at infinity）都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为0的一个特例。在好的情形(good cases)下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密(dense)的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的ε > 0，一个定义在实数轴X上的函数f在无穷远处消失，可以粗略通过通过选取一个紧子集C来描述：

| f(x) − 1_C(x)f(x) | < ε

其中1_C(x)表示C的指示函数(en:indicator function)。

注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。

当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布(distribution)，比如狄拉克函数(Dirac delta function)：定义在直线上的δ(x)。此时，我们考虑一个测试函数F，并且F是光滑的，其支撑集不包括0。由于δ(F)（即δ作用于F）为0，所以我们说δ的支撑集为{0}。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。

[编辑] 奇支集

在傅立叶分析(Fourier analysis)的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。

例如，Heaviside阶梯函数(Heaviside step function)的傅立叶变换，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是1 / x，但这在x = 0时是不成立的。所以很明显地，x = 0是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是{0}，即对于一个支撑集包括0的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值(Caucy principal value)意义下的瑕积分(improper integral)。

对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为波前集(wave front set)，从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理(Huygens' principle)。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（狄拉克函数的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。

[编辑] 支撑族

支撑族是一个抽象的拓扑概念，Henri Cartan在一个层 (数学)(sheaf thoery)中定义了这个概念。在将庞家莱对偶性质(Poincaré duality)推广到非紧的流形(manifold)上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。

Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。X的一组闭子集Φ是一个支撑族，如果它是下闭的(down-closed)并且它的有限并(finite union)也是闭的。它的扩张是Φ的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何，在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间(paracompact space)，并且存在一些是一个邻域。如果X是一个局部紧空间(compact space)，并且是豪斯多夫空间，所有的紧子集组成的族满足上的条件，那么就是仿紧化的。