整环

整环（Integral domain），又譯作整域，是指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环{0}。整环是整数环的抽象化，它很好地继承了整数环的整除性质，使得我们能够更好地研究整除理论。

整环也可以定义为理想{0}是素理想的交换环

[编辑] 例子

• 整环的代表性例子是整数环Z。
• 每个域都是整环。相对的，每个阿廷整环都是域。特别地，每个有限的整环都是有限域。整数环Z是一个非阿廷整环不是域的例子，因为它有无穷递降的理想列：

• 多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如一元多项式环Z[X]和二元多项式环R[X,Y]。
• 对每个整数n>0，是实数域R的子环，因此是整环。是复数域C的子环，因此是整环。当n=1时，后者被称为高斯整数环。
• 若R是一个交换环，P是R的一个理想，那么商环R/P是整环当且仅当P是素理想。由此可推出R是整环当且仅当{0}=R/R是素理想。

[编辑] 整除、素元、既约元

在整环上可以定义类似于整数环里的整除性质。

a 与 b 是R中的两个元素，定义a整除b或a是b的约数或b是a的倍数，当且仅当存在R中的一个元素x使得ax = b。

整除关系满足传递性，即 a整除b，b整除c推出a整除c。 a整除b，则a 整除b的所有倍数。a的两个倍数的和与差仍是a的倍数。

1的约数称为R的可逆元。可逆元整除所有元素。

若a整除b并且b整除a，则称a与b相伴。 a与b相伴当且仅当存在可逆元u 使得au = b。

非可逆元q称为既约元，如果q不能写成两个非可逆元的乘积。

如果p不是零元或可逆元，称p为素元，如果对任意ab，p整除 ab可推出p整除a或p整除b。

这两个定义是整数环中素数的推广。如果p是素元，那么p生成的主理想是素理想。每个素元都是既约元，但反过来则只有当R是唯一分解环才正确。

“整环”是一个關於數學、还没写完的小作品，希望您能继续编辑或者是修订这个条目。