无穷级数

无穷级数是对一个有次序的无穷个数求和的方法，无穷级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。无穷级数通常被表示为 $\sum_{n=1}^\infty a_n$

[编辑] 无穷级数的判断

如假定有一个无穷数列：

u 1, u 2, u 3,... u n,...

其前n项的和为：

s n = u 1 + u 2 + u 3 + ... + u n

由此得出另一个无穷数列：

s 1, s 2, s 3,... s n,...

它是由上一个无穷数列持续相加造成的。例如，如果u是任意的：

u 1

=1，

u 2

=3，

u 3

=5，...

u n

...

但s不会是任意的，它是和任意数列有逐级加和关系的：

s 1

=1，

s 2

=4，

s 3

=9，...

s n

，...

当n无限增加时，s_n趋向一个极限

$s=\lim_{n\to\infty}s_n$

如果极限存在，这个无穷数列就叫做是收敛的无穷级数，如果极限不存在，这个数列就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。

s = u 1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ...

I. 若有一个无穷级数：

u 1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ...

如果每一项乘以一个常数a，则和等于as。

a s = a u 1 + a u 2 + a u 3 + ... + a u n + ...

II. 收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

s = u 1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ...

和

t = v 1 + v 2 + v 3 + ... + v n + ...

则

$s \pm t=(u_1 \pm v_1)+(u_2 \pm v_2)+(u_3 \pm v_3+)...+(u_n \pm v_n)+...$

III. 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其收敛性，如：

s = u 1 + u 2 + u 3 + ... + u 9

和

s = u 15 + u 16 + u 17 + ... + u 50

这两个级数的收敛性是一样的。

VI. 当n趋向无限大时，任何一个收敛性级数的一般项都趋向0：

$\lim_{n\to\infty}u_n=0$