諧振子

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本文描述的是经典力學中的諧振子。量子力學中的諧振子請見量子諧振子與量子阻尼諧振子。

一個無阻尼彈簧 - 質量體系統構成一個簡諧振子。

经典力學中，一個諧振子(harmonic oscillator)乃一個系統，當其從平衡位置位移，會感受到一個恢復力 $F$ 正比於位移 $x$ ，並遵守胡克定律：

$F = -k x \,$

其中 $k$ 是一個正值常數。

如果 $F$ 是系統僅受的力，則系統稱作簡諧振子（簡單和諧振子）(simple harmonic oscillator)而其進行簡諧運動(simple harmonic motion)——正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動，且振幅與頻率都是常數（頻率不與振幅相依）。

若同時存在一摩擦力（阻尼(damping)）正比於速度，則諧振子稱作是阻尼振子(damped oscillator)。在這樣的情形，振動頻率小於無阻尼情形，且振幅隨著時間減小。

若同時存在一與時間相依的外力，諧振子則稱作是受驅振子(driven oscillator)。

力學上的例子包括了單擺（限於小角度位移之近似）、連接到彈簧的質量體，以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子(electrical harmonic oscillator)（參見RLC電路）。

[编辑] 簡諧振子

簡諧振子沒有驅動力，也沒有摩擦（阻尼），所以淨力單純為：

$F = -k x \,$

利用牛頓第二定律

$F = m a = -k x \,$

則加速度 $a$ 等於是 $x$ 的二次微分導數：

$m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x$

若定義 ${\omega_0}^2 = k/m$ ，則方程式可以寫為如下：

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0$

可以觀察到：

$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \ddot x = \frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot {x}$

然後代回原式得到

$\frac{\mathrm{d} \dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot x + {\omega_0}^2 x = 0$

$\mathrm{d} \dot{x}\cdot \dot x + {\omega_0}^2 x \cdot \mathrm{d}x = 0$

積分可得

$\dot{x}^2 + {\omega_0}^2 x^2 = K$

其中K是積分常數，設K = (A ω₀)²

$\dot{x}^2 = A^2 {\omega_0}^2\omega_0}^2 x^2$

$\dot{x} = \pm {\omega_0} \sqrt{A^2 - x^2}$

$\frac {\mathrm{d}x}{\pm \sqrt{A^2 - x^2}} = {\omega_0}\mathrm{d}t$

經過積分，結果（包括積分常數φ）為

$\begin{cases} \arcsin{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \\ \arccos{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \end{cases}$

並有一般解

$x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \,$

其中振幅 $A \,$ 以及相位 $\phi \,$ 可透過初始條件來決定。

另外也可以將一般解寫成

$x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \,$

其中 $\phi \,$ 的值與前面形式相比，偏移了 $\pi/2 \,$ ；

又可以寫作

$x = A \sin{\omega_0 t} + B \cos{\omega_0 t} \,$

其中 $A \,$ 與 $B \,$ 為透過初始條件決定的常數，以替代前面形式的 $A \,$ 與 $\phi \,$ 。

振動頻率則為

$f = \frac{\omega_0}{2\pi}$

動能為

$T = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega_0 t + \phi)$ .

以及勢能（位能）為

$U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \phi)$

所以系統總能為定值：

$E = \frac{1}{2} k A^2$

[编辑] 受驅諧振子

一受驅諧振子滿足如下非齊次(nonhomogeneous)二階線性微分方程

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)$ ，

其中 $A 0$ 是驅動振幅而 $ω$ 是驅動頻率，針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC（電感L-電容C）電路以及理想化的彈簧系統（沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力）。

[编辑] 阻尼諧振子

一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = 0$ ，

其中 $b$ 是由實驗決定的阻尼常數，滿足關係式 $F = - b v$ 。遵守此方程式的系統，其中一例為置於水中的加重彈簧(weighted spring)，若假設水所施的阻尼力與速度 $v$ 呈線性比例關係。

阻尼諧振子的頻率為

$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - R_m^2}$

其中

$R_m=\frac{b}{2m}.$

[编辑] 受驅阻尼振子

受驅阻尼振子滿足方程式

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + r \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + kx= F_0 \cos(\omega t)$ 。

其一般解為兩個解的和，一為暫態解（無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解），與初始條件相關；另一為穩態解（非齊次常微分方程式之特殊解），與初始條件無關，只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。

穩態解為

$x(t) = \frac{F_0}{Z_m \omega} \sin(\omega t - \phi)$

其中

$Z_m = \sqrt{r^2 + \left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)^2}$

為阻抗(impedance)或線性響應函數(linear response function)之絕對值

$Z = r + i\left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)$

而

$\phi = \arctan\left(\frac{\omega m - \frac{k}{\omega}}{r}\right)$

為相對於驅動力（相位定為0）的振動相位。

可以觀察到，當在某特定驅動頻率 $ω$ 時，振子振動之振幅（相對於一給定之 $F 0$ ）達到最大。這發生在頻率為

${\omega}_r = \sqrt{\frac{k}{m} - 2\left(\frac{r}{2 m}\right)^2}$

之時，而此現象稱之為（位移上的）共振。

總結來說，在穩態時，振動頻率等同於驅動力的頻率，但振動與驅動力在相位上有偏移；且振幅大小與驅動頻率相關，當驅動頻率與振動系統偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。

例子：RLC電路；電阻類比於阻尼。

[编辑] 完整數學描述

多數諧振子，至少近似上地說，是在解以下的微分方程式：

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)$

其中t是時間，b是阻尼常數，ω_o是特徵角頻率(characteristic angular frequency)，而A_ocos(ωt)代表驅動系統的某種事物，其振幅A_o而角頻率ω。x是進行振盪的被測量量；可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關，關係式為

$f = \frac{\omega}{2 \pi}.$

[编辑] 重要項

振幅：偏離平衡點的最大的位移量。
週期：系統完成一個振盪循環所需的時間，為頻率的倒數。
頻率：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以赫茲 = 1/秒為量度）。
角頻率： $ω = 2π f$

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相位：how much of a cycle the system completed (system that begins is in phase zero, system which completed half a cycle is in phase $π$ ).
初始條件：the state of the system at t = 0, the beginning of oscillations.